SIR 方程式では、なぜ T = 1／γ なのか（なぜ (平均世代時間) = 1／(治癒率) なのか）

最もシンプルな SIR モデル https://sarkov28.hatenablog.com/entry/2021/01/04/113012 においては、パラメータ $T$ と $γ$ の間に、 $T=1/γ$ の関係が成り立っています。

$T$ は、平均世代時間です。
（＝ある感染者が感染してから、次の感染者を感染させるまでの平均日数）
$γ$ は、治癒率です。
（＝感染者が治癒していく割合）

この2つのパラメータはなぜ $T=1/γ$ を満たすのでしょうか。
何か無理に設定したように見えるかも知れません。

しかしこの関係式は、定義から導出できる関係式です。
したがって「無理な設定」ではなく、必然の関係式なのです。

以下、このモデルを前提として、導出の概要を示します。

（１）説明の方針
（２）説明したいこと
（３）SIR モデルでの表現と、wikipedia での表現との違い
（４）計算の説明

（１）説明の方針

本エントリの説明は、wikipedia の「指数関数的減衰」の項に沿って行います。
https://ja.wikipedia.org/wiki/指数関数的減衰
（念の為ですが、私が確認した内容の wikipedia の該当ページの web.archive.org データは、こちらです。）

ただし、wikipedia では、計算の詳細は省略されています。
計算の詳細を示すためには、部分積分という手法を使うことになり、積分の勉強のようになってしまうからです。
部分積分を使った箇所の計算の正しさは、wikipedia の記述を信用して頂くことになります。
（実は、部分積分の説明も書いてみたのです。しかしやたらと長くなったので、ここに書くのは止めました。別エントリとして書くかも知れません。）

似たような主旨の説明は、こちらのプレプリント論文にもあります。
（こちらでも、計算の細部は同じように省略されています。）
2020 Maassen
The SIR and SEIR Epidemiological Models Revisited
https://www.preprints.org/manuscript/202005.0090/v1
の、式(6)～式(10)付近。

なお、本エントリを参照しながら、twitter https://twitter.com/sarkov28/status/1419620200832409608 で同趣旨を述べています。
twitter の記述は本エントリの一部であり、twitter のみに書いたことはないつもりです。

（２）説明したいこと

説明したいことは以下です。

(2a) SIR 方程式において、
(2b) 感染者の治癒率が $γ$ である時に、
(2c) 「感染者が平均的に感染している期間」が $1/γ$ であることを示します。
(2d) 「感染者が平均的に感染している期間」というのは、平均世代時間 $T$ なので、
(2e) 関係式 $T=1/γ$ が成立することになります。

（３）SIR モデルでの表現と、wikipedia での表現との違い

ここで検討している SIR モデルと、wikipedia とでは使っている文字が違います。対照表はこうなります。

(表1) 文字の対照表

SIR モデルでの表現	wikipedia での表現
感染者数 $I$	減衰する量 $N$
治癒率 $γ$ 　(gamma)	崩壊定数 $λ$ 　(lambda)
平均世代時間 $T$	平均寿命 $τ$ 　(または　τ)　(tau)

（４）計算の説明

(4-1) 指数関数的減衰の微分方程式と、その解

上の（２）節(2b) で述べた、「感染者の治癒率が $γ$ である時」に、感染者数 $I$ はどういう方程式を満たすでしょうか。
ここでは「ある時点での感染者がどのように治癒して減少していくか」だけを考えるので、SIR の方程式の $I(t)$ に関する式

$\displaystyle \frac{dI}{dt} = β\ S\ I\ - γ\ I$

のうち、治癒に関する部分だけを抜き出します。

$\displaystyle \frac{dI}{dt} = - γ\ I$ …… (4-1)

感染者を隔離して他との接触を断ち、治癒していく態様を記述していることになります。

式(4-1)と同型になっている wikipedia での式は、こちらです。

$\displaystyle \frac{dN}{dt} = - λ\ N$

この式は、指数関数的な減衰を表す微分方程式です。
これを解くと以下になります。

$\displaystyle I(t) = I_0\ e^{- γ\ t}$ …… (4-2)
（ $I_0$ は、時刻 0 での感染者数です。）

wikipedia での同型の式は、こちらです。

$\displaystyle N(t) = N_0\ e^{- λ\ t}$
（ $N_0$ は、時刻 0 での値です。）

ここまでをまとめます。

(表2) 方程式の解までの対照表

SIR モデルでの表現	wikipedia での表現
使う文字 $I$ 、 $γ$ 、 $T$	使う文字 $N$ 、 $λ$ 、 $τ$ 　(または　τ)
指数関数的減衰の方程式 $\displaystyle \frac{dI}{dt} = - γ\ I$ …… (4-1)	指数関数的減衰の方程式 $\displaystyle \frac{dN}{dt} = - λ\ N$
指数関数的減衰の方程式の解 $\displaystyle I(t) = I_0\ e^{- γ\ t}$ …… (4-2)	指数関数的減衰の方程式の解 $\displaystyle N(t) = N_0\ e^{- λ\ t}$

(4-2) これから、何を計算すればいいのか

導出したい関係式は、 $T = 1/γ$ でした。
$γ$ は既に数式に出てきていますが、 $T$ はまだです。
ここで、 $T$ とは何なのかを考えます。
ここが大事な所です。

$T$ は「平均世代時間」でした。
シンプルな SIR において、「平均世代時間」すなわち「ある感染者が感染してから、次の感染者を感染させるまでの平均日数」を計算したいのです。
これを計算できるのでしょうか。

このモデルでは、以下のように感染の態様を単純化しているので、計算できます。
今回の計算を行うために、特別に単純化したのではありません。シンプルな SIR 方程式では、元々以下の単純化を導入しています。

単純化した感染の態様は、実際の新型コロナの病態とは色々と違います。そこに違和感を感じるかも知れません。
しかし元々、シンプルな SIR を前提として検討しているのです。だからモデルの制約は、受け入れて頂くしかありません。
また、モデルの制約があるために、つまり単純化したために、計算しやすくなる面もあります。

(4-2a) まずシンプルな SIR では「潜伏期間は考えません」。
(4-2b) なので「感染のタイミングと、感染させる能力を得るタイミングは一致します」。
(4-2c) また「感染力はないが、感染はしているという状態は考えません」。
(4-2d) なので「治癒のタイミングと、感染させる能力を失うタイミングは一致します」。
(4-2e) この(4-2b)と(4-2d)から、「感染してから治癒するまでの期間と、他の感受性者を感染させる期間は一致します」。
(4-2f) また「他の感受性者を感染させる力は一定だと考えます」。
(4-2g) つまり「感染力が強くなったり、弱くなったりは考えません」。

(4-2a)～(4-2g)は一々書きませんが、現実の新型コロナには当てはまりません。
しかし単純化のお陰で、「ある感染者が感染してから、次の感染者を感染させるための平均日数」を計算することができます。
上記単純化の下では、「ある感染者が感染してから、次の感染者を感染させるための平均日数」は、「ある感染者が感染している平均日数」と一致するからです。

「感染している平均日数」なら、計算できます。

(4-3) wikipedia では「答え」が先に出てくる

前節の検討により、「感染者が感染している平均日数」を計算すれば、それが $T$ になることがわかりました。

wikipedia には、計算の中身を示す前に、答えが先に書いてあります。
計算の概要は次節で示します。

$\displaystyle τ = \frac{1}{λ}$

この式は、SIR の表現だとこうなります。

$\displaystyle T = \frac{1}{γ}$ …… (4-3)

ここまでをまとめます。

(表3) 関係式までの対照表

SIR モデルでの表現	wikipedia での表現
使う文字 $I$ 、 $γ$ 、 $T$	使う文字 $N$ 、 $λ$ 、 $τ$ 　(または　τ)
指数関数的減衰の方程式 $\displaystyle \frac{dI}{dt} = - γ\ I$ …… (4-1)	指数関数的減衰の方程式 $\displaystyle \frac{dN}{dt} = - λ\ N$
指数関数的減衰の方程式の解 $\displaystyle I(t) = I_0\ e^{- γ\ t}$ …… (4-2)	指数関数的減衰の方程式の解 $\displaystyle N(t) = N_0\ e^{- λ\ t}$
方程式の解から導出できる関係式 $\displaystyle T=\frac{1}{γ}$ …… (4-3)	方程式の解から導出できる関係式 $\displaystyle τ=\frac{1}{λ}$

(4-4) 「答え」を計算する式

答えの式(4-3)を先に示してしまいましたが、wikipedia には、次の節にこれを導く計算式が書いてあります。

$\displaystyle τ = ＜t＞ = \int_0^\infty t \cdot c \cdot N_0\ e^{-λ\ t}dt$

$\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \int_0^\infty λ\ t\ e^{-λ\ t}dt = \frac{1}{λ}$
（c は積分定数で、 $c = λ／N_0$ 。）

この式の最初と最後をつなげると、 $\displaystyle τ = \frac{1}{λ}$ となります。

このうち、 $\displaystyle \int_0^\infty λ\ t\ e^{-λ\ t}dt = \frac{1}{λ}$ のところで、部分積分を使います。

すいませんが、部分積分のところは（１）節に書いた事情で省略します。

同じ式を、SIR の記号で書いておきます。

$\displaystyle T = \int_0^\infty t \cdot c \cdot I_0\ e^{-γ\ t}dt$

$\displaystyle \ \ \ = \int_0^\infty γ\ t\ e^{-γ\ t}dt = \frac{1}{γ}$ …… (4-4)
（c は積分定数で、 $c = γ／I_0$ 。）

式(4-4)の最初と最後をつなげると、

$\displaystyle T = \frac{1}{γ}$ …… (4-5)

となります。
ここまでをまとめます。

(表4) 計算の概要までの対照表

SIR モデルでの表現	wikipedia での表現
使う文字 $I$ 、 $γ$ 、 $T$	使う文字 $N$ 、 $λ$ 、 $τ$ 　(または　τ)
指数関数的減衰の方程式 $\displaystyle \frac{dI}{dt} = - γ\ I$ …… (4-1)	指数関数的減衰の方程式 $\displaystyle \frac{dN}{dt} = - λ\ N$
指数関数的減衰の方程式の解 $\displaystyle I(t) = I_0\ e^{- γ\ t}$ …… (4-2)	指数関数的減衰の方程式の解 $\displaystyle N(t) = N_0\ e^{- λ\ t}$
方程式の解から導出できる関係式 $\displaystyle T=\frac{1}{γ}$ …… (4-3)	方程式の解から導出できる関係式 $\displaystyle τ=\frac{1}{λ}$
関係式を導出する計算の概要 $\displaystyle T = \int_0^\infty t \cdot c \cdot I_0\ e^{-γ\ t}dt$ $\displaystyle \ \ \ = \int_0^\infty γ\ t\ e^{-γ\ t}dt = \frac{1}{γ}$ …… (4-4)	関係式を導出する計算の概要 $\displaystyle τ = ＜t＞ = \int_0^\infty t \cdot c \cdot N_0\ e^{-λ\ t}dt$ $\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \int_0^\infty λ\ t\ e^{-λ\ t}dt = \frac{1}{λ}$

(4-5) まとめ

$\displaystyle T = \frac{1}{γ}$ …… (4-3)、(4-4)、(4-5)

は、導出しようとしていた関係式です。

以上で、 $\displaystyle T = \frac{1}{γ}$ という関係式を、SIR の定義から導出できたことになります。