SIR 系モデルの説明その2 「3世代型 SIR」 - 気になったことを考察する

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SIR 系モデルの簡潔な説明、その2、今回は「3世代型 SIR」です。
その1 はこちら。

西浦氏が「42万人死亡推計」で使った、「3世代型 SIR」モデルを説明します。。
出典は、西浦氏による Newsweek 2020-06-09 号の記事に書いてあった github の資料です。
このモデルの基本は、その1 で説明した「シンプル SIR」モデルです。これを少し改変したものになります。

「シンプル SIR」から「3世代型 SIR」への改変のポイントは

「シンプル SIR」では設けていなかった、年齢による区分を行った。
区分は「0～14歳」「15～64歳」「65歳以上」の3つ。
年齢区分による特徴を表現するため、区分によって接触に関するパラメータを変える。

です。

式を見ると「シンプル SIR」と比べて、ややこしく見えるかも知れませんが、中身は見た目ほど違いません。
特に、式の数が「シンプル SIR」より増えますが、同じパターンの式が3回繰り返されているだけです。

（１）シンプル SIR モデル（再掲）
（２）3世代型 SIR モデル
（３）「3世代型 SIR」に組み込まれている世代ごとの特徴

（１）シンプル SIR モデル（再掲）

その1 である程度説明した、「シンプル SIR」の式を再掲します。
「シンプル SIR」では、人口の全員が同じ特性と持っていると仮定していました。

以下で「感受性者」というのは、「感染していなくて、免疫も持っていない者」という意味です。
感染が始まる前は、「全人口＝感受性者数」となります。
$S$ を感受性者数、 $I$ を感染者数、 $R$ を回復者数とします。

$\displaystyle \frac{dS}{dt} = - \beta \ S \ I$ …… (1)

$\displaystyle \frac{dI}{dt} = \beta \ S \ I - \gamma \ I$ …… (2)

$\displaystyle \frac{dR}{dt} = \gamma \ I$ …… (3)

全人口を $N$ とすると、
$N = S + I + R$
となっています。

（２）3世代型 SIR モデル

3世代型 SIR モデルについて、説明していきます。

（2-1）3つの世代への分割

西浦氏は、全人口を3つの世代 $c$ , $a$ , $e$ に分けました。
年齢区分が、

$c$ ：0歳～14歳
$a$ ：15歳～64歳
$e$ ：65歳以上

となっていますので、 $c$ , $a$ , $e$ は child, adult, elder の頭文字かと思います。

先ほど $S$ で表していた感受性者数を、3つの世代に分けます。
分けたものを、 $S_c$ 、 $S_a$ 、 $S_e$ とします。
$S_c$ というのは、「 $c$ の $S$ 」という意味であり、つまり、「child の感受性者数」です。
同様に、 $S_a$ は「adult の感受性者数」、 $S_e$ は「elder の感受性者数」です。
3つの世代に分けただけなので、合計すれば全体の量になります。
$S = S_c + S_a + S_e$
つまり、(全世代の $S$ ) = (child の $S$ ) + (adult の $S$ ) + (elder の $S$ )

同じ要領で、 $I$ 、 $R$ も3つに分けます。
$I = I_c + I_a + I_e$
つまり、(全世代の $I$ ) = (child の $I$ ) + (adult の $I$ ) + (elder の $I$ )
$R = R_c + R_a + R_e$
つまり、(全世代の $R$ ) = (child の $R$ ) + (adult の $R$ ) + (elder の $R$ )

（１）のシンプル SIR の時は、（世代を区別しないので、）
$N = S + I + R$
つまり、(人口) = (感受性者数) + (感染者数) + (回復者数)
でした。
今回は世代を分けましたので、似たような式が、child、adult、elder で成立します。
child の例を見てみます。
$c$ の人口を $N_c$ とすると、上と同様の式、
$N_c = S_c + I_c + R_c$
つまり、(child の人口) = (child の感受性者数) + (child の感染者数) + (child の回復者数)
が成立します。（同様の式が、adult、elder に対しても成立します。）

（2-2）c に関する関係式

$c$ つまり、child に関する関係式を見てきます。

次に、これらの記号を使うと、 $c$ に関する関係式を書くことができます。以下のようになります。
（以下は、西浦氏の資料そのままではなく、できるだけ「シンプル SIR」の数式に近い形式になるように変形してあります。）

$\displaystyle \frac{dS_c}{dt} = - \beta_c \ S_c \ (\alpha_c \ I)$ …… (4)

$\displaystyle \frac{dI_c}{dt} = \beta_c \ S_c \ (\alpha_c \ I) - \gamma \ I_c$ …… (5)

$\displaystyle \frac{dR_c}{dt} = \gamma \ I_c$ …… (6)

ただし、 $\beta_c = \beta / (N_c / N)$ です。
最後の $\beta_c$ は、人口 $N$ に合わせてあった定数 $\beta$ を $c$ の人口 $N_c$ に合わせるように調整したものです。

(4) (5) (6)は、かなり(1) (2) (3)と似ています。
原則的には、(1) (2) (3)の文字に、小さな $c$ がくっ付いただけです。
例えば、 $S$ は $S_c$ なっています。
$\gamma$ は世代による使い分けをしないので、そのままです。

原則から外れているのは、式 (1) と (2) の $\beta \ S \ I$ のところです。 $c$ がくっ付くだけなら $\beta_c \ S_c \ I_c$ となりそうなのに、 $\beta_c \ S_c \ (\alpha_c \ I)$ になっています。
ここについては、次節で説明します。

（2-3）a と e に関する関係式

同様に $a$ に関する式、 $e$ に関する式を作成します。

$c$ の時と同じ要領です。（同じなので書かなくてもいいぐらいなのですが、一応。）
まず、 $a$ に関して。先ほどの $c$ を $a$ に変えただけです。

$\displaystyle \frac{dS_a}{dt} = - \beta_a \ S_a \ (\alpha_a \ I)$ …… (7)

$\displaystyle \frac{dI_a}{dt} = \beta_a \ S_a \ (\alpha_a \ I) - \gamma \ I_a$ …… (8)

$\displaystyle \frac{dR_a}{dt} = \gamma \ I_a$ …… (9)

ただし、 $\beta_a = \beta / (N_a / N)$ です。

次に、 $e$ に関して。(7) (8) (9)の $a$ を $e$ に置き換えるだけですが。

$\displaystyle \frac{dS_e}{dt} = - \beta_e \ S_e \ (\alpha_e \ I)$ …… (10)

$\displaystyle \frac{dI_e}{dt} = \beta_e \ S_e \ (\alpha_e \ I) - \gamma \ I_e$ …… (11)

$\displaystyle \frac{dR_e}{dt} = \gamma \ I_e$ …… (12)

ただし、 $\beta_e = \beta / (N_e / N)$ です。

なお、 $\alpha_c$ 、 $\alpha_a$ 、 $\alpha_e$ については次節で説明しますが、この3つは足すと 1.0 になるようにしてある定数であり、西浦氏が使ったのは以下の値です。

$(\alpha_c,\ \alpha_a,\ \alpha_e) = (0.009,\ 0.630,\ 0.361)$

足し算してみると、確かに 1.0 になります。
$\alpha_c + \alpha_a + \alpha_e = 0.009 + 0.630 + 0.361 = 1.0$

（３）「3世代型 SIR」に組み込まれている世代ごとの特徴

「3世代型 SIR」に組み込まれている世代ごとの特徴を見ていきます。

(3-1) 「シンプル SIR」から「3世代型 SIR」で変化した部分は、新規感染者数

「シンプル SIR」から「3世代型 SIR」で変化した部分は、何を計算しているのでしょうか。

「3世代型 SIR」は3世代に分けたので、「シンプル SIR」に比べて式の数は3倍になりました。
しかし式の意味の違いは、わずかな部分です。

以下、 $c$ に関する式、(4) (5) (6) に関して説明します。
$a$ や $e$ に関する式、(7)～(12) については、 $c$ と全く同じ話になります。

(4) (5) (6) は、(1) (2) (3) と似ています。
ほとんどの違いは、(1) (2) (3) の文字に、 $c$ がくっ付いたことです。
それ以外の違いといえば、

(a1) $\beta \ S \ I$ に、 $c$ がくっ付いただけならば、
(a2) $\beta_c \ S_c \ I_c$ になるはずなのに、
(a3) 実際には $\beta_c \ S_c \ (\alpha_c \ I)$ になっている。

この違いが、式(4) (5) に起きている「だけ」です。
この点だけ理解できれば、「3世代型 SIR」が理解できることになります。

そもそも、(a1) の $\beta \ S \ I$ とは何だったでしょうか。
その1（２）(2-5) で説明したように、(a1) の $\beta \ S \ I$ というのは、「新規に感染した人数」でした。
この点は「3世代型 SIR」でも変わりません。つまり $\beta_c \ S_c \ (\alpha_c \ I)$ というのは、「新規に感染した $c$ の人数」を表しています。

（念の為補足しておきますが、(a3)の $\beta_c \ S_c \ (\alpha_c \ I)$ の代わりに (a2) の $\beta_c \ S_c \ I_c$ を使った関係式は、「不自然な接触」を計算することになります。つまり、「 $c$ の感染者や $c$ の感受性者は、他の世代の人と接触しない」という状態です。これは式としては単純ですが、接触の態様としては不自然です。）

(3-2) 変化した部分が表明していること

「シンプル SIR」から「3世代型 SIR」で変化した部分は、何を表明しているのでしょうか。

「新規に感染した $c$ の人数」は、

「シンプル SIR」では $\beta \ S \ I$ でしたが、
「3世代型 SIR」では $\beta_c \ S_c \ (\alpha_c \ I)$ になりました。

これは、どういう変化なのでしょうか。

その1（２）(2-5) の説明と同じように考えると、以下になります。

(b1) $c$ の感受性者における接触数は、「 $c$ の感受性者数 $S_c$ 」に比例し、「 $(\alpha_c \ I)$ 」にも比例する。
(b2) したがって、「新規に感染した $c$ の人数」は、 $S_c$ × $(\alpha_c \ I)$ × $\beta_c$ となる。

（ $\beta_c$ は接触当たりの感染の比率に関係する比例定数です。その1（２）(2-5) の $\beta$ の説明をご参照下さい。）

$\alpha_c = 0.009$ であることを頭に入れて、この (b2) をよく見てください。
この掛け算は接触を示しているのです。
この式は「このモデルでは接触を以下のように考える」と表明しています。

「 $c$ の感受性者 $S_c$ 」は、

(c1) 「感染者全体 $I$ 」と均一に接触するのではなく、
(c2) 「 $c$ の感染者 $I_c$ 」と均一に接触するのでもなく、
(c3) 「感染者全体 $I$ の一部 $(\alpha_c \ I)$ 」と均一に接触する。

この接触の考え方が、この「3世代型 SIR」における、世代別の特徴です。

(3-3) alpha について考える

パラメータ $\alpha_c$ 、 $\alpha_a$ 、 $\alpha_e$ についてもう少し検討します。

(c3)なので、「定数 $\alpha_c$ が大きく（小さく）なる」ことは、
「 $c$ が、感染者全体 $I$ のより多くの（少ない）部分と均一に接触する」ことを
意味します。

(3-3-1) alpha が極端な値だったらどういうことになるか

パラメータ $\alpha_c$ 、 $\alpha_a$ 、 $\alpha_e$ が極端な値だったら、を検討します。

上で、
$\alpha_c + \alpha_a + \alpha_e = 1.0$
になるようにしてある、と説明しました。

西浦氏の使った定数の値は、
$(\alpha_c,\ \alpha_a,\ \alpha_e) = (0.009,\ 0.630,\ 0.361)$
でした。
仮に、これを極端な値に変えた場合を考えてみましょう。例えば、
$(\alpha_c,\ \alpha_a,\ \alpha_e) = (1.000,\ 0.000,\ 0.000)$
としたら、これはどういう接触になるでしょうか。
$\alpha_c$ だけが $1.000$ であり、残りの $\alpha_a$ 、 $\alpha_e$ はゼロです。
これは、

感染者全体が、 $c$ の感受性者にだけ接触し、
$a$ や $e$ の感受性者には接触しない、

と想定したことになります。
この場合、感染者は $c$ にしか発生しなくなります。

(3-3-2) 西浦氏が使った alpha の値が意味すること

西浦氏が使った $\alpha_c$ 、 $\alpha_a$ 、 $\alpha_e$ の値について確認します。

西浦氏が実際に使ったのは、
$(\alpha_c,\ \alpha_a,\ \alpha_e) = (0.009,\ 0.630,\ 0.361)$
でしたので、西浦氏は、

感染者全体のうち、
0.9% が $c$ の感受性者に接触し、
63.0% が $a$ の感受性者に接触し、
36.1% が $e$ の感受性者に接触する、

と想定したことになります。
$\alpha_c,\ \alpha_a,\ \alpha_e$ は、「感染者全体が $c$ 、 $a$ 、 $e$ の感受性者に接触する比率」を決めているのです。

(3-3-3) Newsweek 記事での記述

Newsweek 記事での記述について書いておきます。

ここまで述べてきたような、 $\alpha$ を使った計算の仕組みを、西浦氏は記事で「感受性の異質性を導入した」と説明しています。
（説明箇所は、冒頭に書いた Newswwek 記事、3 ページ目、一番下。）
$(\alpha_c,\ \alpha_a,\ \alpha_e) = (0.009,\ 0.630,\ 0.361)$
というパラメータの値は、武漢のデータを使って決めたようです。（西浦氏は、値決定のロジックを明確に書いていません。説明箇所をご参照下さい。）

また、「感染性の異質性は導入しなかった」と述べています。
この理由は「不明なので考慮することができていなかった」からだ、と。