東洋経済の実効再生産数の簡易計算は、一般的な実効再生産数とは異なる数値を計算している

私がネット上でしていることのまとめは、こちらに。
https://sarkov28.hatenablog.com/entry/2022/03/29/160915

東洋経済の実効再生産数の簡易計算は、一般的な定義の実効再生産数とは異なる数値を計算しています。

（１）本エントリで示すこと
（２）「一般的な定義の実効再生産数」と「東洋経済サイトの簡易計算における実効再生産数」
（３）以下の議論の前提
（４）東洋経済の簡易計算の定義
（５） toyoRt と sRt の関係式の導出
（６）まとめ
（７）まとめの補足その１（式(11)が正しいことは数値計算による検算で確認されている）
（８）まとめの補足その２（東洋経済の実効再生産数簡易計算は、感染状況を過大に見せている）
（９）式(5)の近似の補足
- (9-1) 式(5) の成立のためにどういう仮定を置いたのか
- (9-2) 式(5) の成立のための仮定は妥当なのか
（１０）実効再生産数の定式化
（１１）twitter における関連事項
（１２）導出した関係式などは、報告間隔や平均世代時間に依存しない
参考文献
修正履歴

（１）本エントリで示すこと

東洋経済サイトが計算している実効再生産数の簡易計算は、一般的な定義の実効再生産数とは異なる数値を計算しています。この簡易計算は、京都大学大学院の西浦博教授の監修によるものです。

以下に、両者が異なる数値であることを示します。

また、両者の関係式を導出します。

また、この関係式が正しいことを数値計算による検算で確認します。

（２）「一般的な定義の実効再生産数」と「東洋経済サイトの簡易計算における実効再生産数」

「一般的な定義の」というのは、ご存じのような、

(a1) 何らかの感染対策を実行しているか、あるいは、
(a2) 社会集団の一部が感染症への免疫を保持している場合に、
(a3) 1人の感染者が、
(a4) 感染力を保持する間に、
(a5) 平均的に何人の新規感染者を生むのか、

を示す指標としての実効再生産数です。

単に $Rt$ と書くと区別ができなくなるので、以下ではこれを $sRt$ と書きます。

東洋経済サイトが計算している実効再生産数の簡易計算を $toyoRt$ とします。

$toyoRt$ の定義は、後ほど示します。

（３）以下の議論の前提

以下の議論は、感染拡大初期を前提とします。

シンプルな SIR モデル https://sarkov28.hatenablog.com/entry/2021/01/04/113012 では、感染拡大初期の感染者数 $I(t)$ は、時刻 $t$ の指数関数、式(1) で近似できます。

$I(t) = C e^{kt}$ ...... (1)

ここで、 $C = I(0)、k = \beta S(0) - \gamma、\beta = R_0 / (N T)$ です。...... (2)

$I(0)、S(0)$ は $t=0$ における感染者数と感受性者数、 $\beta、\gamma$ は SIR モデルにおける定数、 $R_0$ は基本再生産数、 $N$ は総人口、 $T$ は平均世代時間です。

感染拡大初期の感染者数 $I(t)$ を指数関数、式(1) で近似する件については、「マルサス法則の周辺について。」とした連ツイ https://twitter.com/sarkov28/status/1405849050524524552 で検討しました。

式(1)(2) の導出もこの連ツイの途中、https://twitter.com/sarkov28/status/1405851265272205317 以下に（数理疫学者の稲葉氏による説明 [1] とともに）示してあります。

式(1)(2) は、私が導いたものではなく、上に示した稲葉氏の説明にある式

$I(t) = I(0) e^{(\beta S(0) - \gamma)t}$

を分けて書いたものです。

（４）東洋経済の簡易計算の定義

$t$ における新規感染者数を、 $newI(t)$ とします。

$C_a(t)$ を、

$\displaystyle C_a(t) = \sum_{d=0}^6{newI(t-d)}$ ...... (3)

とすると、東洋経済サイトが示している簡易計算 $toyoRt$ は、定義

toyoRt=(直近7日間の新規陽性者数/その前7日間の新規陽性者数)^(平均世代時間/報告間隔)、（報告間隔= $7$ 、平均世代時間= $T$ ）

から、

$\displaystyle toyoRt = \left(\frac{C_a(t)}{C_a(t-7)}\right)^{\frac{T}{7}}$ ...... (4)

と書くことができます。

（５） toyoRt と sRt の関係式の導出

感染拡大初期なので、新規感染者数は感染者数の差で近似できます。

$newI(t) \fallingdotseq I(t) - I(t - 1) = C e^{kt} - C e^{k(t - 1)} = C e^{k(t - 1)}(e^{k} - 1)$ ...... (5)

この近似は、「感染拡大初期の新規回復者数はゼロと見なすことができる」としたものです。この近似に関する補足を（９）に書きました。

式(3) に式(5) を使うと、

$C_a(t)$

$\displaystyle = \sum_{d=0}^6{newI(t-d)}$

$\fallingdotseq I(t) - I(t - 7)$ $= C e^{kt} - C e^{k(t - 7)}$ $= C e^{kt} (1 - e^{-7k})$ ...... (6)

となります。式(4) に式(6) を使うと、

$toyoRt$

$\displaystyle = \left(\frac{C_a(t)}{C_a(t-7)}\right)^\frac{T}{7}$

$\displaystyle \fallingdotseq \left(\frac{C e^{kt}(1 - e^{-7k})}{C e^{k(t - 7)}(1 - e^{-7k})}\right)^\frac{T}{7}$ $= (e^{7k})^\frac{T}{7} = e^{kT}$ ...... (7)

となります。

検討しているような SIR 系では、 $\gamma = 1 / T$ なので、式(2) から $k = \beta S(0) - 1/T$ 、 $\beta = R_0 /(N T)$ です。したがって、

$\displaystyle kT = \beta S(0) T - 1 = \frac{S(0) R_0}{N} - 1$ ...... (8)

です。

さらに流行初期なので $S(0) = N$ とできるので、式(8) は

$kT = R_0 - 1$ ...... (9)

となります。

式(7) に式(9) を使うと、

$toyoRt = e^{R_0 - 1}$ ...... (10)

となります。

流行初期の実効再生産数 $sRt$ は、 $R_0$ に一致するので、 $R_0 = sRt$ とできます。

式(10) で $R_0 = sRt$ とすれば、 $toyoRt$ と $sRt$ の関係式、

$toyoRt = e^{sRt - 1}$ ...... (11)

が得られます。

なお、式(11) を $sRt$ について解くと、

$sRt = log_e(toyoRt) + 1$ ...... (12)

となります。

式(11) のグラフは以下になります。

　　graph.1a $toyoRt$ と $sRt$ の関係のグラフ（修正版）
感受性者がほとんどを占める状態における、私が正しいと考える実効再生産数 $sRt$ （横軸）と、東洋経済の実効再生産数の簡易計算 $toyoRt$ （縦軸）の関係、ならびに検算（横軸 $R0$ 、縦軸 $toyoRt$ ）の結果を示している。
青線：私が導出した関係式のグラフ $toyoRt = exp(sRt - 1)$ 。 $sRt$ について解くと $sRt = log_e(toyoRt) + 1$ となる。
赤丸：SIR モデルを使った検算の結果（青線にほぼ一致）
緑線： $toyoRt = R0$ のグラフ。 $toyoRt$ が実効再生産数の簡易計算として正しければ、検算の赤丸はこの上（付近）に乗る。しかし、赤丸は青線の上に乗っている。
感受性者がほとんどを占める状態にいては、東洋経済の実効再生産数（西浦氏監修の式）は、数値が高めに出る。

（６）まとめ

$toyoRt$ が、 $sRt$ の簡易計算なら、 $toyoRt = sRt$ か、これに近い関係が必要です。

しかし実際には、上記の導出に用いた式(1) と式(5) の近似が成立する場合には、式(11)

$toyoRt = e^{sRt - 1}$

が成立していて、 $toyoRt = sRt$ やそれに近い関係はありません。

東洋経済サイトが計算している実効再生産数の簡易計算 $toyoRt$ は、一般的な定義の実効再生産数 $sRt$ とは異なる数値を計算していることが分かりました。

なお、以下が言えます。

(6-1) $sRt = 1$ の場合には、式(11) から $toyoRt = 1$ になるので、 $toyoRt = sRt$ となります。
(6-2) $sRt$ や $toyoRt$ が 1 に近い場合（例えば、 $0.5～1.5$ 程度）には、式(11) から両者の値は近くなります。
(6-3) $toyoRt$ が 1 に近くない場合、例えば、新型コロナの基本再生産数 $R_0 = 2.5$ 付近の $sRt = 2.5$ では、 $toyoRt = 4.48$ となり、両者はとても近い値とは言えません。

(6-1)、(6-2)、(6-3)は、下のグラフ graph.1a で確認できます。

　　（再掲）graph.1a $toyoRt$ と $sRt$ の関係のグラフ（修正版）

幾つかの $sRt$ における $toyoRt$ の理論値（ $= e^{sRt - 1}$ ）を示しておきます。


$sRt$	1.0	1.2	1.4	1.6	1.8	2.0
$toyoRt$	1.00	1.22	1.49	1.82	2.23	2.72


$sRt$	2.2	2.4	2.6	2.8	3.0
$toyoRt$	3.32	4.06	4.95	6.05	7.39


$sRt$	1.7	2.5
$toyoRt$	2.01	4.48

[表 1]　幾つかの $sRt$ における $toyoRt$ の値（ $toyoRt = e^{sRt - 1}$ ）

1.7 と 2.5 は、西浦氏が 2020-03-02 と 2020-03-19 の専門家会議で示した日本のコロナの基本再生産数の値なので計算してあります。

逆の表も示しておきます。


$toyoRt$	1.0	1.2	1.4	1.6	1.8	2.0
$sRt$	1.00	1.18	1.34	1.47	1.59	1.69


$toyoRt$	2.2	2.4	2.6	2.8	3.0
$sRt$	1.79	1.88	1.96	2.03	2.10


$toyoRt$	1.7	2.5
$sRt$	1.53	1.92

[表 2]　幾つかの $toyoRt$ における $sRt$ の値（ $sRt = log_e(toyoRt) + 1$ ）

（７）まとめの補足その１（式(11)が正しいことは数値計算による検算で確認されている）

式(11)

$toyoRt = e^{sRt - 1}$ ...... (11)

の導出には、幾らかの近似（式(1) と式(5)）を用いています。したがってこの近似が適切なのかという疑問があります。

しかし式(11) が正しい事は、実際に計算して確認済です。

理論値（式(11)）は、計算値に一致するのです。

このことは、既に示してあるグラフですが、

https://twitter.com/sarkov28/status/1405108027938594822

で述べた「検算」でご確認頂けます。

　　（再掲）graph.1a $toyoRt$ と $sRt$ の関係のグラフ（修正版）

このグラフで「緑の直線」が $sRt$ です。

「青い曲線」が $toyoRt$ の理論値、式(11) です。

複数の「赤い〇」は計算値であり、以下の要領で計算したものです。

これらの「赤い〇」が「青い曲線」の上に乗っていること（縦軸の値が一致していること）は、「式(11) が正しい事」を示しています。

「検算」すなわち「赤い〇」の計算要領：
例として、 $sRt = 2.0$ の場合の「赤い〇」の値を計算します。

実効再生産数を $2.0$ として、シンプルな SIR モデル
https://sarkov28.hatenablog.com/entry/2021/01/04/113012
で時間経過による感染者数の拡大を計算します。
得られた計算結果に基づいて、東洋経済サイトで示されている $toyoRt$ の定義（式(4)）の通りに、 $toyoRt$ を計算します。
得られた $toyoRt$ の値が、「 $sRt = 2.0$ の場合の「赤い〇」の値」です。

同様の計算を、別の $sRt$ の値に対して行った結果が、グラフにある複数の「赤い〇」です。

（８）まとめの補足その２（東洋経済の実効再生産数簡易計算は、感染状況を過大に見せている）

まとめに書いたように、 $toyoRt$ は高めの値になります。

このため、東洋経済の簡易計算で計算された実効再生産数 $toyoRt$ を見ていると、感染状況を過大に見積もってしまう弊害があったことを特に指摘しておきます。

以下のような状況を考えます。

2020年の春。西浦氏が示すように、新型コロナの基本再生産数が $R_0 = 2.5$ だとします。

ある時、何らかの感染対策を行った結果、感染拡大を2割削減できたとします。

この時の実効再生産数は、定義から、あるいは西浦氏自身が説明しているところから、

$Rt = 2.5 \times (2割削減) = 2.5 \times 0.8 = 2.0$ ...... (13)

になります。東洋経済の実効再生産数の簡易計算においても、この値（または近い値）が計算されるべきです。

しかし、東洋経済の簡易計算は、これに近い値を計算しません。

式(13) で $2.0$ と計算した $Rt$ は、一般的な定義の（（２）の(a1)～(a5) の意味での）実効再生産数なので、これは $sRt$ です。

この時、東洋経済の簡易計算 $toyoRt$ は、式(11) から、

$toyoRt = e^{sRt - 1} = e^{2.0 - 1} = 2.71$

になります。

字義通り「簡易計算」なら、東洋経済の簡易計算は、式(13) に示すように $2.0$ かそれに近い値を計算してくるべきです。ところが実際には、 $2.71$ を出してくるのです。

非常に不適切なことに、ここでは大小関係が逆転しています。

「感染対策により、感染拡大を2割削減できている状況」であるにも関わらず、「東洋経済の簡易計算は、対策なしにおける数値（ $2.5$ ）よりも高い数値（ $2.71$ ）を示します。

感染拡大初期に東洋経済の簡易計算を見ていると、感染対策の評価を（過小評価する方向に）誤ってしまうのです。（上記の「2割削減」の例では「過小評価」どころか「逆効果的評価」になっています。）（なお現在は、それなりに免疫保持者割合が増加しているので、本エントリが想定している「感染拡大初期」には該当しないと思われます。）

東洋経済はこの不適切さをどのようにお考えなのでしょうか。

（９）式(5)の近似の補足

感染拡大初期なので、新規感染者数は感染者数の差で近似できる、というのが式(5) でした。

$newI(t) \fallingdotseq I(t) - I(t - 1) = C e^{kt} - C e^{k(t - 1)} = C e^{k(t - 1)}(e^{k} - 1)$ ...... (5)

(9-1) 式(5) の成立のためにどういう仮定を置いたのか

式(5) は、「感染拡大初期の新規回復者数はゼロと見なすことができる」との仮定から導かれるものです。

時刻 $t$ と時刻 $t - 1$ の感染者数については、以下の式が成立します。

$I(t) = I(t - 1) + newI(t) - newR(t)$ ...... (14)

ここで $newR(t)$ は、時刻 $t$ における新規回復者数です。

「感染拡大初期の新規回復者数はゼロと見なすことができる」のであれば、（今考えている $t$ は感染拡大初期なので、） $newR(t) = 0$ とできます。

式(14) で、 $newR(t) = 0$ として、式変形すると、

$newI(t) = I(t) - I(t - 1)$ ...... (15)

となります。

「感染拡大初期の新規回復者数はゼロと見なすことができる」との仮定から、式(5) を導きました。

(9-2) 式(5) の成立のための仮定は妥当なのか

次に、「感染拡大初期の新規回復者数はゼロと見なすことができる」との仮定が妥当であることを示します。

感染拡大初期なので、感染者数は比較的小さいです。
回復者は、感染者の一部です。
感染者数が比較的小さいので、感染者数の一部である回復者数はさらに小さいです。
したがって、「感染拡大初期の新規回復者数はゼロと見なすことができる」との仮定は妥当です。

どの程度までが「感染拡大初期」と言えるのかについては、別に検討する予定です。

（１０）実効再生産数の定式化

（２）に示した「一般的な定義の実効再生産数」は定式化されています。まず、（２）で示した定義を再掲します。

(a1) 何らかの感染対策を実行しているか、あるいは、
(a2) 社会集団の一部が感染症への免疫を保持している場合に、
(a3) 1人の感染者が、
(a4) 感染力を保持する間に、
(a5) 平均的に何人の新規感染者を生むのか、

これは、参考文献 [3] に説明されている2つの実効再生産数のうちの1つ、瞬間的再生産数（instantaneous reproduction number）に該当しています。

瞬間的再生産数は、[3] では $R(t)$ と表現され、「1人の感染者あたりが時刻 $t$ に生み出す新規感染者数の平均値」と説明されています。

$\displaystyle R(t) = \frac{i(t)}{\int_{0}^{\infty} i(t - \tau) g(\tau) d\tau}$ ...... (16)

$i(t)$ は、時刻 $t$ における新規感染者数。

$g(\tau)$ は、各感染源にとっての感染後の経過時刻 $\tau$ （＝感染齢）における2次感染発生の相対的頻度。

（式(16)と、 $i(t)$ 、 $g(\tau)$ の定義は、[3] の (10-5)式とその周辺から。）

（同様の記述は、参考文献 [2] の (2.113)式とその周辺にもありますが、[2] の説明はやや明確さを欠きます。）

（１１）twitter における関連事項

ここに示す各連ツイは、このエントリに関連する事項を述べています。

[0.目次]
https://twitter.com/sarkov28/status/1405140064561029120

[1.概要]
https://twitter.com/sarkov28/status/1402934465261756416

[2.東洋経済の計算式はどこが間違っているのか]
https://twitter.com/sarkov28/status/1405099777688170498

[3. 西浦氏による例示その1(東洋経済の計算式で不適切になる例その1)]
https://twitter.com/sarkov28/status/1437747938713686025

[4. 西浦氏による例示その2(東洋経済の計算式で不適切になる例その2)]
https://twitter.com/sarkov28/status/1440880535002234890

[5. 西浦氏による例示その3(東洋経済の計算式を使っている例)]
https://twitter.com/sarkov28/status/1440972220856078341

[6. （本エントリを紹介する予定の連ツイ）]
（まだですが、たぶんもうすぐ）

[7. （「2つの実効再生産数と、東洋経済の簡易計算」みたいな、一連のまとめっぽいことを書く予定の連ツイ）]
（まだ）

（１２）導出した関係式などは、報告間隔や平均世代時間に依存しない

本エントリでは、西浦氏監修の東洋経済の実効再生産数の簡易計算に沿って論じたため、報告間隔を $7$ としていました（（４）の式(4)）。

しかし明らかに、本エントリが導出した関係式である式(11) や式(12) やそれに関連する事項は、他の報告間隔を採用した同様の計算でも成立します。これらは報告間隔に依存しません。

また、本エントリでは、平均世代時間を $T$ としました（（４）の式(4)）が、本エントリが導出した関係式である式(11) や式(12) やそれに関連する事項は、平均世代時間に依存しません。

参考文献

[1] 稲葉寿 2008 微分方程式と感染症数理疫学
https://www.researchgate.net/publication/341121176_weifenfangchengshitoganranzhengshuliyixue
[2] 稲葉寿編著「感染症の数理モデル増補版」, 培風館, 2020
上の（１０）で言及の 2章は、西浦氏による。
[3] 西浦博編著「感染症疫学のためのデータ入門」, 金芳堂, 2021
上の（１０）で言及の Chapter 10 は、スンモク・ジョン氏と西浦氏の共著。

修正履歴

大きく修正した場合は、ここに書いておきます。

2023-07-19
公開。公開後に幾らか修正しました。
2023-07-26
「（９）式(5)の近似の補足」を追加し、関連する修正を行いました。
（６）の議論の後半を整理し、(6-1)(6-2)(6-3) という形にしました。
「本エントリで用いている近似が、式(1) と式(5) であること」を、明確にしました。
この他、細かな表記を修正しました。
2023-07-28
「（１０）実効再生産数の定式化」を追加し、関連する修正を行いました。
参考文献に [2]、[3] を追加しました。
2023-07-30
$sRt$ を「一般的な定義の」「通常言われている定義の」などと不統一な表現で説明していました。これを「一般的な定義の」という表現に統一しました。
2024-03-28
- 初出の graph.1a の下に、図中に書いたのと同様の説明を加筆しました。
- （６）の、 $sRt$ の値に対応する $toyoRt$ の値の表を、[表 1] としました。
  [表 2] として $toyoRt$ の値に対応する $sRt$ の表を新たに作成しました。
2024-04-06
- （４）で $toyoRt$ の定義を twitter への参照で示していましたが、直接書くようにしました。内容は同一です。
- （１２）を追加しました。